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伯努利试验和二项分布在这里有一个简单的解释。伯努利试验也被称为二项试验。在伯努利试验中，只有两种可能的结果但在二项分布中，我们得到了一系列独立实验的成功次数。
贝努力试验
我们进行的许多随机实验只有两种结果，要么失败，要么成功。例如，一个产品可能有缺陷，也可能没有缺陷，等等。这种只有两种可能结果的独立试验被称为伯努利试验。要将试验归类为伯努利试验它必须满足以下条件:
贝努力试验的例子
从装有10个白球和10个黑球的袋子中取出8个球。如果绘制的球被放回或不被放回，预测试验是否为伯努利试验。
解:
(a)对于第一种情况，当一个球被放回时，成功的概率(比如白球)是p=10/20=1/2，这对所有八次试验(平局)都是一样的。因此，涉及到更换球的试验称为伯努利试验。
(b)对于第二种情况，当抽到一个没有放回的球时，成功的概率(例如白球)随试的次数而变化。例如第一次试验，成功的概率，p=10/20第二次试验，成功的概率，p=9/19不等于第一次试验。因此，不放回球的实验不是伯努利实验。
二项式分布
考虑投掷硬币的三次伯努利试验。让得到正面，代表成功，S，得到反面，代表失败F。我们有三种方法可以在三次尝试中获得一次成功，{SFF, FSF, FFS}。同样，两次成功一次失败有三种方式。一般公式为Cn(r)。其中n表示试验的次数，r表示成功或失败的次数。
上述情况的成功次数可以取四个值0、1、2、3。
设a表示成功的概率，b表示失败的概率。表示成功的随机变量X可设为:
P(X=0) = P(FFF) = P(F)×P(F)× P(F)
= b×b×=b3
并且;
P(X=1) = P(SFF, FSF, FFS)
= P(S)×P(F)×P(F) + P(F)×P(S)×P(F) + P(F)×P(F)×P(S)
= a×b× b + b×a× b + b× b× a =3ab2
以及;
P(X=2) = P(SSF, SFS, FSS)
=P(S)×P(S)× P(F) + P(S)× P(F)× P(S) + P(F)× P(S)× P(S)
= a × a × b + b × a × b + b × b × a=3a2b
还有;
P(X=3) = P(SSS, SSS, SSS) = P(S) × P(S) × P(S)
= a × a × a = a3
这个投币的分布可以列表如下:
P(X)
b3
3ab2
3a2b
a3
我们可以将它与(a + b)3的二项展开式联系起来，以确定0、1、2、3次成功的概率。
因为, (a + b)3=a3+3ab2+3a2b+b3
对于n次试验，x次成功，S和(n-x)次失败的方法数，F可表示为:
在每种方法中，x次成功和(n-x)次失败的概率:
P(S)×P(S) ×…..× P(S)×P(F)× …..× P(F)× P(F)=axb(n-x)
因此，n次贝努力Bernoulli试验中x次成功的概率为:
因此，P(x)成功可以由(a + b)x的二项展开式中第n项给出，以上的概率分布可表示为:
X( 0, 1, 2, 3….x),
述概率分布称为二项分布。
二项分布的例子
如果投掷一枚均匀硬币8次，求以下概率:
(1) 恰好5次正面朝上
(2) 至少有5次正面朝上.
解:
反复抛硬币是伯努利试验的一个例子。根据问题:
试验次数: n=8
正面向上的概率: a= 1/2
反面朝上的概率： b =1/2
恰好有5次正面朝上:
x=5,
(b) 至少有5次正面朝上,
x ≥ 5,
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